Math: 熵权法

Description

物理学上的熵（entropy）用来表示任何一种能量在空间中的分布的均匀程度，能量分布的越均匀，熵就越大。当一个体系的能量完全均匀分布时，这个系统的熵就达到最大值。在信息论中，熵又称为平均信息量，它是信息的一个度量。

利用熵的概念确定指标权重的方法称为熵权法。其出发点是根据某同一指标观测值之间的差异程度来反映其重要程度，如果各被评价对象的某项指标的数据差异不大，则反映该指标对评价系统所起的作用不大。

熵权法是一种客观的赋权方法，它是利用各指标的熵值所提供的信息量的大小来决定指标权重的方法。熵权法的作用有：用熵权法给指标赋权可以避免各评价指标权重的人为因素干扰，使评价结果更符合实际；通过对各指标熵的计算，可以衡量出指标信息量的大小，从而确保所建立的指标能反映绝大部分的原始信息。

Method

（1）形成决策矩阵

设参与评价的对象集为M=（M₁，M₂，…，M_m），指标集为D=（D₁，D₂，…，D_n），评价对象M_i对指标D_j的值记为x_ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），则形成的决策矩阵X为：

\[X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{D_1}}&{{D_2}}& \cdots &{{D_n}}\\ {{M_1}}&{{x_{11}}}&{{x_{12}}}& \cdots &{{x_{1n}}}\\ {{M_2}}&{{x_{21}}}&{x{}_{22}}& \cdots &{{x_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{M_m}}&{{x_{m1}}}&{{x_{m2}}}& \cdots &{{x_{mn}}} \end{array}} \right]\]

（2）标准化决策矩阵

为了消除各指标量纲不同对方案决策带来的影响，或者处理一些指标值为负的决策问题，对决策矩阵X进行标准化处理，从而形成标准化矩阵V=（v_ij）_m×n。根据指标的性质，将指标分为两类。一类是越大越优型指标，也称为效益型指标；另一类是越小越优型指标，也称为成本型指标。

标准化处理时根据指标性质，采用相应的标准化形式：

对于越大越优型指标：

\[{v_{ij}} = \frac{{{x_{ij}} - \min \left( {{x_j}} \right)}}{{\max \left( {{x_j}} \right) - \min \left( {{x_j}} \right)}}\]

对于越小越优型指标：

\[{v_{ij}} = \frac{{\max \left( {{x_j}} \right) - {x_{ij}}}}{{\max \left( {{x_j}} \right) - \min \left( {{x_j}} \right)}}\]

（3）计算第j项指标下，第i个评价对象的特征比重

对于某一个指标j，v_ij的值差异越大，表明该项指标对于被评价对象的作用越大，即该项指标提供给被评价对象的有用信息越多。根据熵的概念，信息的增加意味着熵的减少，熵可以用来度量这种信息量的大小。

记第j项指标下，第i个评价对象的特征比重为p_ij，则

\[{p_{ij}} = \frac{{{v_{ij}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^m {{v_{ij}}} }}\]

（4）计算第j项指标的熵值e_j

\[{e_j} = - \frac{1}{{\ln \left( m \right)}}\sum\limits_{i = 1}^m {{p_{ij}}\ln \left( {{p_{ij}}} \right)} \] 当p_ij=0或者p_ij=1时，认为p_ijln(p_ij)=0。

（5）计算第j项指标的差异性系数d_j

观察熵值的计算公式，对于某一项指标D_j，v_ij的差异越小，e_j越大。当各被评价对象第j项指标值全部相等时，e_j=e_max=1。根据熵的概念，各被评价对象第j项指标值差异越大，表明该指标反映的信息量越大。因此，定义差异系数d_j：

\[{d_j} = 1 - {e_j}\]

（6）确定各指标的熵权

\[{w_j} = \frac{{{d_j}}}{{\sum\limits_{k = 1}^n {{d_k}} }}j = 1,2, \cdots ,n\]

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References

[1] 郭亚军. 综合评价理论、方法及应用. 北京: 科学出版社, 2007. Pp15~16.

[2] 何鑫, 朱宏泉, 高成凤. 基于熵权法与TOPSIS法的房地产项目投资风险评价. 商业研究, 2009, 03:105~108.