Math: 评价指标的一致化

Description

一般来说，指标x₁, x₂, …, x_m中，可能含有“极大型”指标、“极小型”指标、“居中型”指标和“区间型”指标。对于某些定量指标，如产值、利润等，我们自然期望它们的取值越大越好，这类指标我们称之为极大型指标；而对于诸如成本、能耗等一类指标，我们自然期望它们的取值越小越好，这类指标称之为极小型指标；诸如人的身高、体重等指标，我们既不期望它们的取值越大越好，也不期望期望它们的取值越小越好，而是期望它们的取值越居中越好，我们称这类指标为居中型指标；而区间型指标是期望其取值以落在某个区间内为最佳的指标。

若指标x₁, x₂, …, x_m中既有极大型指标、极小型指标，又有居中型指标或区间型指标，则必须在对各备选方案进行综合评价之前，将评价指标的类型作一致化处理。否则，就无法定性地判定综合评价函数中的yi值是否是取值越大越好，或是取值越小越好，或是取值越居中越好。因此，也就无法根据y值的大小来综合评价各备选方案的优劣。因此，需将指标作类型一致化的处理。

对于极小型指标x，令

\[{x^*} = M - x\]

或

\[{x^*} = \frac{1}{x}\left( {x > 0} \right)\]

式中，M为指标x的一个允许上界。

对于居中型指标x，令

\[{x^*} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\left( {x - m} \right),m \le x \le \frac{{M + m}}{2}}\\ {2\left( {M - x} \right),\frac{{M + m}}{2} \le x \le M} \end{array}} \right.\]

式中，m为指标x的一个允许下界，M为指标x的一个允许上界。

对于区间型指标x，令

\[{x^*} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.0 - \frac{{{q_1} - x}}{{\max \left\{ {{q_1} - m,M - {q_2}} \right\}}},x < {q_1}}\\ {1.0,x \in \left[ {{q_1},{q_2}} \right]}\\ {1.0 - \frac{{x - {q_2}}}{{\max \left\{ {{q_1} - m,M - {q_2}} \right\}}},x > {q_2}} \end{array}} \right.\]

式中，[q₁,q₂]为指标x的最佳稳定区间，M、m分别为x的允许上、下界。

如此，非极大型评价指标x通过上式可以转换为极大型指标了。

References

[1] 郭亚军. 综合评价理论、方法及应用. 北京: 科学出版社, 2007. Pp15~16.