Math: 可拓综合评价法的建模步骤

矛盾问题，就是指在现有条件下无法实现人们要达到的目标的问题。

Summary

利用可拓综合评价法，一般要经历确定经典域、确定节域、确定待评价物元、确定评价指标的权重、确定待评价事物关于各类别的关联度以及确定待评价事物的类别和级别变量特征值六个步骤。

Step 1 确定经典域

设有m个评价物元（或评价类别）N₁，N₂，…，N_m，将各评价物元（或类别）对应的特征值范围用[a_ij, b_ij]表示，则同征物元R₀可表示为：

\[{R_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} N&{{N_1}}&{{N_2}}& \cdots &{{N_m}}\\ {{c_1}}&{\left[ {{a_{11}},{b_{11}}} \right]}&{\left[ {{a_{12}},{b_{12}}} \right]}& \cdots &{\left[ {{a_{1m}},{b_{1m}}} \right]}\\ {{c_2}}&{\left[ {{a_{21}},{b_{21}}} \right]}&{\left[ {{a_{22}},{b_{22}}} \right]}& \cdots &{\left[ {{a_{2m}},{b_{2m}}} \right]}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{c_n}}&{\left[ {{a_{n1}},{b_{n1}}} \right]}&{\left[ {{a_{n2}},{b_{n2}}} \right]}& \cdots &{\left[ {{a_{nm}},{b_{nm}}} \right]} \end{array}} \right]\]

式中：N_j——第j个评价物元（或类别）；c_i——第i个评价指标；v_ij=[a_ij,b_ij]——N_j关于c_i所规定的量值范围，即经典域。

Step 2 确定节域

\[{R_p} = \left( {P,C,{V_p}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} P&{{c_1}}&{\left[ {{a_{1p}},{b_{1p}}} \right]}\\ {}&{{c_2}}&{\left[ {{a_{2p}},{b_{2p}}} \right]}\\ {}& \vdots & \vdots \\ {}&{{c_n}}&{\left[ {{a_{np}},{b_{np}}} \right]} \end{array}} \right]\]

式中：P——评价类别的全体；[a_ip，b_ip]——P关于c_i所取的量值范围，即节域。

Step 3 确定待评价物元

对待评价物元，把监测数据或分析结果用物元表示为：

\[{R_d} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} P&{{c_1}}&{{v_1}}\\ {}&{{c_2}}&{{v_2}}\\ {}& \vdots & \vdots \\ {}&{{c_n}}&{{v_n}} \end{array}} \right]\]

式中：R_d——待评价物元；v_i——待评价事物对应于c_i的数值。

Step 4 确定评价指标的权重

\[{W_i} \ge 0\left( {i = 1,2, \cdots ,n} \right)\] \[\sum\limits_{i = 1}^n {{W_i}} = 1\]

Step 5 确定关联度

计算距：

\[\begin{array}{c} \rho \left( {{v_i},{v_{ij}}} \right) = \left| {{v_i} - \frac{1}{2}\left( {{a_{ij}} + {b_{ij}}} \right)} \right| - \frac{1}{2}\left( {{b_{ij}} - {a_{ij}}} \right)\\ \rho \left( {{v_i},{v_{ip}}} \right) = \left| {{v_i} - \frac{1}{2}\left( {{a_{ip}} + {b_{ip}}} \right)} \right| - \frac{1}{2}\left( {{b_{ip}} - {a_{ip}}} \right) \end{array}\]

式中：ρ（v_i,v_ij）——点v_i与区间v_ij的距；ρ（v_i,v_ip）——点v_i与区间v_ip的距。

计算关联函数：

\[{K_j}\left( {{v_i}} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\rho \left( {{v_i},{v_{ij}}} \right)}}{{\rho \left( {{v_i},{v_{ip}}} \right) - \rho \left( {{v_i},{v_{ij}}} \right)}}{v_i} \notin {v_{ij}}}\\ {\frac{{ - \rho \left( {{v_i},{v_{ij}}} \right)}}{{\left| {{v_{ij}}} \right|}}{v_i} \in {v_{ij}}} \end{array}} \right.\]

K_j（v_i）——关联函数，待评价事物的指标c_i关于类别j的归属度；|v_ij|——区间[a_ij，b_ji]的长度，即|b_ij-a_ij|。

计算关联度：

\[{K_j}\left( p \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{W_i}{K_j}\left( {{v_i}} \right)} \]

式中：K_j（p）——在考虑指标权重下，待评价事物各指标c_i关于类别j的关联度的组合值。

Step 6 确定待评价事物的类别和级别变量特征值

若K_j0（p）=maxK_j（p）（j=1，2，…，m），则评定p属于类别j0。记：

\[\overline {{K_j}} \left( p \right) = \frac{{{K_j}\left( p \right) - \mathop {\min }\limits_{1 \le j \le m} {K_j}\left( p \right)}}{{\mathop {\max }\limits_{1 \le j \le m} {K_j}\left( p \right) - \mathop {\min }\limits_{1 \le j \le m} {K_j}\left( p \right)}}\]

则p的级别变量特征值j*为：

\[{j^ * } = \frac{{\sum\limits_{j = 1}^m {j \cdot \overline {{K_j}} \left( p \right)} }}{{\sum\limits_{j = 1}^m {\overline {{K_j}} \left( p \right)} }}\]

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References

[1] 何逢标. 综合评价方法MATLAB实现. 北京: 中国社会科学出版社. pp: 269~270.

[2] 方统中, 杜耘, 蔡述明, 等. 模糊数学在洪湖营养化评价中的应用. 浙江林学院学报, 2008, 25(4):517~521.

[3] 高军省, 吕小凡. 湖泊富营养化评价的可拓学方法及应用. 长江大学学报（自然科学版）. 2010, 7(1):33~37.